Session 4A: Statistical Distributions - Applications in Finance & Investing
- 所属系列：统计基础 · 2021 系列
- 视频：YouTube · 时长 12:51 · 字幕
- 内容判断：应用笔记与算例｜画面依赖高：直方图、Q-Q 图和检验表都在图片页，已看过｜检验回报和股价是否服从正态
- 处理方式与范围：全片梳理，附检验表和数字复算
- 讲义 / 资料：Session 4A 讲义（15 页）· 课后测验 · 答案
- 素材依据：英文字幕，仓库存档，365 行；字幕类型未核实
- 核对范围：已读全片字幕 00:00–12:48，讲义全部 15 页（图片页已看），课后测验和答案；已重算 Jarque-Bera 统计量和正态尾部概率；视频画面未核对
- 发布日期：2021-08-24
- 数据截至：2020–2021 年
- 状态：已提炼
金融依赖正态分布，因为它方便。这一讲用数据检验这个假设，得到两条常识：指数比个股更接近正态，长期回报比短期回报更接近正态。股价本身不可能正态，取对数也不一定行。把风险管理建立在正态上，真正的代价出现在尾部。
视频总结
时间戳取自 YouTube 英文字幕，标题中的时间区间可点击跳转；讲义页码指 PDF 页码。
00:10–01:31 为什么金融依赖正态
正态分布只要两个参数，而且金融的数据一直很多，这让它成了默认选项。
正态只需要期望和标准差（00:50）。金融也早就有大数据（00:43）。但把一切都当成正态会惹麻烦（01:05）。
01:31–05:59 个股：Disney 和 Apple
先看直方图，再看 Q-Q 图，最后看检验；Disney 大体过关，Apple 过不了。
Disney 1962–2021 年的年回报，有一年超过 120%（02:09）。把正态曲线叠上去，肉眼判断不了（02:33）。Q-Q 图更有力：如果数据是正态，点应该落在线上（02:52）。
| 对象 | 样本 | 9 个检验中拒绝正态 |
|---|---|---|
| Disney 年回报 | 1962–2021 | 2 |
| Apple 年回报 | 1981–2020 | 6 |
| 标普 500 年回报 | 1928–2020 | 0 |
| 标普 500 日回报 | 2016–2020 | 8 |
| Apple 日股价 | 第 12 页未写起止 | 8 |
| Apple 日股价的对数 | 同上 | 9 |
06:01–08:01 指数和频率
指数比个股更接近正态，长周期比短周期更接近正态。
标普 500 有 500 只股票互相抵消，年回报的所有检验都不能拒绝正态（06:12，06:41）。但换成日回报就不行了（07:08）。两条经验法则（07:40）：指数比个股更可能服从正态，长期回报比短期回报更可能服从正态。
08:01–09:53 错用正态的代价
风险系统按正态设计时，只防两三个标准差，而肥尾正好打在没防的地方。
用正态设计的风险管理系统只防两三个标准差的事件，更远的事件被认为不值得防（08:53）。Nassim Taleb 一直在为此大声疾呼（09:27）。
09:53–11:55 股价和对数
股价有下限，不可能正态；取对数后接近一些，但不保证。
股价最低是零，所以不可能是正态（09:58）。对数价格理论上可以到负无穷，有希望变得正态（10:46）。Apple 的结果是更接近，但九个检验全部拒绝（11:32）。所以别人说取对数就正态时，听着，但要验证（11:45）。
11:55–12:45 小结
拒绝正态只是工作的开始，接着用流程图找更合适的分布；没有合适的，也可以直接用直方图。
提炼
方法与判断依据
- 检验顺序：直方图，Q-Q 图，偏度和峰度，再看正式检验。
- 两条法则：指数优于个股，长周期优于短周期。
- “不能拒绝”不等于“证明是正态”，样本小时检验没有力量。
- 风险管理不要用正态去算极端事件的概率。
- 拒绝正态后不要停，去找别的分布。
复算与实操
Jarque-Bera 统计量可以手算：
| 数据 | n | 偏度 S | 峰度 K | JB（重算） | 答案 |
|---|---|---|---|---|---|
| 软件利润率 | 244 | −0.8159 | 4.31006 | 44.52 | 44.52 |
| 美国通胀 | 93 | 0.35153 | 6.8239 | 58.58 | 58.58 |
| 银行 PBV | 485 | 3.94228 | 31.25424 | 17,388.6 | 17,388.6 |
这也证实了第 3A 讲的口径：答案第 2 题同时列了峰度 4.31、超额 1.31 和 Fisher 的 G2 1.36，Excel 的 KURT 给的就是 G2。
按正态分布，日回报超过 kσ 的频率（双尾，每年 252 个交易日）：
| k | 概率 | 约多久一次 |
|---|---|---|
| 2 | 4.55% | 22 天 |
| 3 | 0.27% | 1.5 年 |
| 4 | 0.0063% | 63 年 |
| 5 | 0.000057% | 约 6,900 年 |
| 6 | 0.0000002% | 约 200 万年 |
市场上四五个标准差的日子远比这频繁，这就是肥尾的含义。
我的判断：两条法则都可以用第 2 讲的中心极限定理解释。指数回报是多只股票之和，年回报是多个日回报之和，加总就向正态靠拢。标普 500 年回报的样本只有 93 个，日回报约 1,250 个，后者更容易拒绝，所以频率的差别里也有检验力的成分。Apple 日股价是有趋势的序列，观察值不独立，对它做分布检验本身意义就有限。
自测与复习
- 测验第 1 题：Baa 公司债回报的偏度接近零，峰度接近 3，Q-Q 图贴线，可以接受正态。
- 测验第 2 题：软件利润率负偏且尾部偏肥，可以试最小极值分布。
- 测验第 4 题：通胀接近对称，但尾部肥，答案建议 Cauchy。
- 为什么日回报比年回报更不像正态？
关联
疑问与待核实
- 第 10、13 页的 Cramer-von Mises 一行 p 值是 INF，标记为“Cannot reject”；答案第 5 题的 p 值是 2.8E+73。p 值不可能大于 1，这是软件在极端统计量下的溢出，不是不能拒绝。所以 8 个其实应该算 9 个，10:26 的“九个有八个”也是如此。
- 07:15 说日回报的尾巴“小得多”，这和第 11 页的“短期回报尾部更肥”容易混淆。范围小不等于尾部瘦，相对标准差来说，日回报的尾部更肥。
- 第 11 页写“四五六个标准误”，应为标准差，口述是对的。
- 04:08 说正态峰度是 3，检验是否不同于 0，两个口径混用。
- 08:47 的 10% 只是举例，不是估计值。
- 测验答案第 3 题建议对数正态，但 56 家里有 11 家股息率为零，对数不存在，这一点要先处理。这个文件已经 404，这里无法重算。
- 测验答案第 4 题建议 Cauchy，它没有均值和方差，这时报告均值和峰度都没有意义。
- 测验答案第 5 题只有检验和图，没有结论。
- 测验第 4 题仍写 1960–2020 年，数据是 1928–2020 年，见第 3A 讲。
- 第 1 页副标题仍是“Accounting & Statistics”。