Session 9: Introduction to Option Valuation
- 所属系列：金融基础 · 2020 系列
- 视频：YouTube · 时长 16:35 · 字幕
- 内容判断：方法说明与算例｜画面依赖低：二叉树已转写｜新增期权的六个驱动因素、复制组合、二叉树和 Black-Scholes
- 处理方式与范围：全片论证梳理与提炼
- 讲义 / 资料：Session 9 讲义（16 页）· 课后测验 · 测验答案
- 素材依据：英文字幕，仓库存档，536 行；字幕类型未核实
- 核对范围：已读全片字幕 00:00–16:33，讲义全部 16 页，课后答案；已重算二叉树和测验的 Black-Scholes 算例；视频画面未核对
- 发布日期：2020-07-29
- 数据截至：不涉及数据
- 状态：已提炼
事件发生才有的现金流怎么估？Damodaran 先用收益图说明期权的特点：亏损有限、收益很大，所以波动是朋友。然后用两个想法搭起所有期权模型：可以用标的资产和借贷复制期权，而现金流相同的东西价格必须相同。二叉树把这个过程写了出来，Black-Scholes 是它在时间无限缩短时的极限。
视频总结
时间戳取自 YouTube 英文字幕，标题中的时间区间可点击跳转；讲义页码指页脚印的张号。
00:00–02:20 看涨和看跌
期权是权利而不是义务，所以亏损有限，这决定了它的一切特点。
期权给持有者在到期前以固定价格买卖标的资产的权利（00:15）。看涨期权是买的权利，美式可以随时行权，欧式只能在到期时行权，这与地理无关（00:49）。股价高于行权价才行权，否则最多亏掉权利金（01:20）。
看跌期权是卖的权利，股价低于行权价才行权（01:43）。它的收益虽然也很大，但不是无限的，因为股价不会跌破零（02:14）。
02:20–05:05 六个驱动因素
波动是期权和其他资产的最大区别：风险提高时，看涨和看跌都变得更值钱。
| 因素 | 上升时看涨 | 上升时看跌 |
|---|---|---|
| 标的资产价值 | 增加 | 减少 |
| 标的资产方差 | 增加 | 增加 |
| 预期股利 | 减少 | 增加 |
| 行权价 | 减少 | 增加 |
| 剩余期限 | 增加 | 增加 |
| 利率 | 增加 | 减少 |
上表取自第 7 张。债券和股票的风险上升时价值下降，而期权的下行受到保护，方差成了朋友（03:06）。股利让股价下跌，所以伤害看涨（03:36）。利率是唯一的宏观变量：利率越高，将来才付的行权价的现值越低（04:31）。
05:05–06:39 复制组合
所有期权模型都建立在复制和套利上。
可以用标的资产加借贷做出和期权现金流相同的组合（05:21）。这要求标的和期权都能交易，并且能按无风险利率借贷（05:40）。两者现金流相同，价格就必须相同（05:57）。看涨 = 借钱买入若干股；看跌 = 卖空若干股并把钱借出（06:12）。
06:39–10:46 二叉树
从到期日的现金流开始往回解，每一节点都解两个方程。
股价 50 美元，下一期到 70 或 35，再下一期到 100、50 或 25；行权价 40 美元，每期利率 11%（第 10 张）。到期的现金流是 60、10、0（07:26）。
在股价 70 的节点，100D − 1.11B = 60，50D − 1.11B = 10，解得 D = 1，B = 36.04，看涨价值 33.96（08:12）。在 35 的节点，D = 0.4，B = 9.01，价值 4.99（09:30）。再回到今天，讲义解得 D = 0.8278，B = 21.61。
这说明了为什么要从末端开始。如果把期限切得很细，节点数会多到不可操作（10:46）。
10:46–13:48 Black-Scholes
时间间隔缩短且价格变化也缩小时，二叉分布趋于正态分布，二叉树就变成 Black-Scholes。
如果时间变短后价格还会跳，就是跳跃过程，模型会乱得多（11:18）。Black-Scholes 假设价格连续，用起来更方便（11:33）。它的输入有五个：标的价值 S、行权价 K、期限 t、无风险利率 r 和方差 σ²（11:53）。少的那个因素是股利，原始模型只估有股利保护的欧式期权（12:14）。
看涨价值 = S·N(d₁) − K·e⁻ʳᵗ·N(d₂)。K·e⁻ʳᵗ 是行权价的现值，因为到期才付（13:00）。计算顺序是：代入变量求 d₁、d₂，查表得 N(d₁)、N(d₂)，再代入公式（13:33）。
13:48–15:41 复制组合就在公式里
Black-Scholes 不是黑箱：N(d₁) 是要买的股数，K·e⁻ʳᵗ·N(d₂) 是要借的钱。
N(d₁) 就是期权 delta（14:13）。假设股息收益率不变，就可以调整模型：用 S·e⁻ʸᵗ 代替 S，并在 d₁ 中用 r − y（14:37）。y 还会减少持有成本，因为股利可以用来付利息（15:02）。知道看涨的价值，就能用看跌看涨平价得到看跌的价值（15:25）。
15:41–16:33 怎么选模型
Black-Scholes 限制多但简单，二叉树灵活但费工，前者可以当作下限。
二叉树允许提前行权，但填节点要花很多工夫（15:58）。Black-Scholes 适用于不派息的欧式期权，但只要愿意省略这些细节，结果也足够好（16:09）。大多数期权是美式的，所以它至少给出了价值的下限（16:16）。
提炼
概念与公式
- 看涨到期收益 = max(S − K, 0)；看跌到期收益 = max(K − S, 0)。
- d₁ = [ln(S/K) + (r − y + σ²/2)t] ÷ (σ√t)，d₂ = d₁ − σ√t。
- 带股息收益率的看涨价值 = S·e⁻ʸᵗ·N(d₁) − K·e⁻ʳᵗ·N(d₂)。
- 看跌价值 = K·e⁻ʳᵗ·(1 − N(d₂)) − S·e⁻ʸᵗ·(1 − N(d₁))。
方法与判断依据
- 判断一项资产能否当期权估值：要有标的资产、固定价格的权利和到期日，三个条件都要满足（测验第 1 题）。
- 判断方差的方向：对债券和股票，风险是坏事；对期权，下行有保护，风险是好事。这是实物期权和困境股权估值的基础。
- 模型的前提是标的和期权都能交易、能按无风险利率借贷。用于实物期权时要记住这些前提不一定成立。
- 美式期权价值至少等于同条件的欧式期权，所以 Black-Scholes 的结果可以当下限。
复算与实操
| 节点 | D | B | 看涨价值 |
|---|---|---|---|
| 股价 70 | 1.0000 | 36.04 | 33.96 |
| 股价 35 | 0.4000 | 9.01 | 4.99 |
| 今天（50） | 0.8278 | 21.61 | 19.78 |
- 今天的节点：D = (33.96 − 4.99) ÷ (70 − 35) = 0.8278，B = (35 × 0.8278 − 4.99) ÷ 1.11 = 21.61，价值 = 0.8278 × 50 − 21.61 = 19.78。讲义和口述的 19.42 与这个算式不符，见下方疑问。
- 测验第 2 题：买入 50 的看涨赚 15，卖出 60 的看涨亏 5，合计 +10 美元。
- 测验第 4 题：D = (35 − 0) ÷ (75 − 25) = 0.7，B = 0.7 × 25 ÷ 1.05 = 16.67。
- 测验第 5 题：45 × 0.3485 − 50 × e^(−0.03 × 0.25) × 0.2778 = 1.90。
- 测验第 6 题：d₁ = 0.413，d₂ = −0.481，N(d₁) = 0.6603，N(d₂) = 0.3152，看涨价值 = 45 × e^(−0.075) × 0.6603 − 50 × e^(−0.15) × 0.3152 = 14.00。
自测与复习
- 测验第 3 题：美式和欧式期权的价值关系？美式不低于欧式。
- 为什么更高的利率对看涨有利？
- 不看公式，说出 Black-Scholes 里哪部分是买股，哪部分是借钱。
关联
- 上一讲：Session 8。
- 估值课的期权应用见估值 Session 22、Session 23 和 Session 24。
- 下一讲：通胀见 Session 10。
疑问与待核实
- 第 10 张和 10:40 的 19.42 不等于 0.8278 × 50 − 21.61 = 19.78。不取整重算也是 19.78，讲义数字可能有误。
- 10:22 字幕的 B 是 21.67，随后又说 21.61，讲义和重算都是 21.61。
- 12:46 字幕说 N(d₁) 在 −1 到 +1 之间。它是累积概率，应在 0 到 1 之间。看跌期权的 delta 才是负数。
- 测验答案第 4 题写
35 D -1.05 B =0，应为 25D。 - 测验答案第 5 题写
exp-(.03)(5)，三个月应是 0.25，用 5 年算不出 1.90。 - 测验答案第 6 题写
exp-(.05)(5)，无风险利率是 3%，应为 0.03，否则算不出 14.00。 - 第 11 张说时间缩短后价格变化仍大时极限是泊松分布，11:21 口述只说跳跃过程。