Session 6: The Time Value of Money
- 所属系列：金融基础 · 2020 系列
- 视频：YouTube · 时长 15:33 · 字幕
- 内容判断：方法说明与算例｜画面依赖低：公式已从讲义转写｜新增时间价值的三个原因和五种现金流的现值公式
- 处理方式与范围：全片论证梳理与提炼
- 讲义 / 资料：Session 6 讲义（15 页）· 课后测验 · 测验答案
- 素材依据：英文字幕，仓库存档，446 行；字幕类型未核实
- 核对范围：已读全片字幕 00:00–15:29，讲义全部 15 页，课后答案；已重算全部算例和测验；视频画面未核对
- 发布日期：2020-07-29
- 数据截至：不涉及数据
- 状态：已提炼
今天的一美元为什么比明年的值钱？Damodaran 给出三个原因：人们偏好现在消费、通胀和不确定性，三者都装在折现率里。然后他说明金融里所有现金流都是五种基本形式的组合，并给出每种的现值公式。其中增长永续公式用得最多，也最容易被滥用。
视频总结
时间戳取自 YouTube 英文字幕，标题中的时间区间可点击跳转；讲义页码指页脚印的张号。
00:00–01:41 时间价值的三个原因
现在消费的偏好、通胀和不确定性，共同让未来的钱不如现在的钱值钱。
人们偏好现在消费，要让人放弃就得给补偿，这就是实际利率（00:33）。通胀让一美元将来买得更少（00:53）。今天的一美元可以直接从你手里拿到，明年的一美元要依赖你出现并付钱（01:09）。
01:41–03:24 折现率
折现率装着这三个因素，同时是下一个同等风险投资机会的回报。
折现把未来的现金流拉回今天，复利把今天的现金流推向未来（01:49）。三个因素任何一个上升，折现率都会上升（02:05）。
通胀因货币而异，所以比索和美元的折现率不同，这就是币种重要的原因（02:18）。折现率也是机会成本：它不是你想赚多少，而是同等风险下一个最佳投资能赚多少（02:49）。
03:24–05:03 两条原则和时间线
不同时点的现金流不能直接相加，而好的投资规则要同时看金额和时间。
现金流要先拉到同一时点才能加减，这个时点可以是今天，也可以是五年后（03:39）。时间线的作用是看清何时收到多少钱。年内收到的时点也要说清，是年初、年中、年末还是全年分布（04:41）。
05:03–06:42 五种现金流
金融里所有现金流都是五种基本形式的组合。
五种形式是单笔现金流、年金、增长年金、永续年金和增长永续年金（05:05）。债券是年金加单笔现金流，股票可能是增长年金加增长永续年金（第 6 张）。计算器能算，但他建议至少亲手算一两次，看看 PV 键背后是什么（06:36）。
06:42–09:02 单笔现金流和复利的力量
我们总是低估复利和折现的力量。
10 年后的 1,000 万美元，按 8% 折现是今天的 463 万美元（07:12）。把今天的 1,000 万美元推到 10 年后，是 2,159 万美元。
收入 1 亿美元，增长 50%，第一年增加 5,000 万，第二年增加 7,500 万，这个数很快就会失控（07:49）。反过来，10 年后 1,000 亿美元的终值，今天可能只值 350 亿美元（08:45）。用电子表格估值时尤其要注意这两点。
09:02–11:01 复利频率
同样的名义利率，复利越频繁，有效利率越高。
为了方便，我们假设现金流都在年末发生，但实际上它们分布在全年（09:06）。10% 的名义年利率在不同频率下的有效年利率如下（第 9 张）：
| 频率 | 有效年利率 |
|---|---|
| 一年一次 | 10.00% |
| 半年一次 | 10.25% |
| 每月一次 | 10.47% |
| 每天一次 | 10.5156% |
| 连续复利 | 10.5171% |
11:01–13:58 年金和增长年金
现值可以相加，所以公式的结果总能用逐笔折现检验。
年金现值 = A × [1 − 1/(1+r)ⁿ] ÷ r。每年 1,000 美元、5 年、10% 的现值是 3,791 美元（12:01）。逐笔折现再相加会得到相同结果，这是因为现值可加（12:16）。他说自己仍在用公式，不太信任计算器（11:50）。
增长年金现值 = A(1+g) × [1 − (1+g)ⁿ/(1+r)ⁿ] ÷ (r − g)。它的增长率可以高于折现率，因为分子分母同时为负（13:12）。只有 g = r 时公式失效，这时现值就是期数乘以 A，例如 5 × 100 = 500（13:39）。
13:58–15:29 永续年金和增长永续年金
增长永续公式是公司金融和估值里用得最多，也最常被滥用的公式。
永续年金现值 = A ÷ r。100 美元按 8% 是 1,250 美元，直觉是把 1,250 美元存进 8% 的银行，每年正好得到 100 美元（14:14）。
增长永续年金现值 = CF₁ ÷ (r − g)，这里要用一年后的现金流（14:45）。估值里的终值、公司金融里项目的期末价值都用它（15:03）。它很容易失控，后面他会给出使用规则（15:15）。
提炼
概念与公式
| 现金流 | 现值 |
|---|---|
| 单笔 | CFₜ ÷ (1+r)ᵗ |
| 年金 | A × [1 − 1/(1+r)ⁿ] ÷ r |
| 增长年金 | A(1+g) × [1 − (1+g)ⁿ/(1+r)ⁿ] ÷ (r − g) |
| 永续年金 | A ÷ r |
| 增长永续年金 | CF₁ ÷ (r − g) |
有效年利率 = (1 + r/m)ᵐ − 1，连续复利时为 eʳ − 1。
方法与判断依据
- 折现率的含义是机会成本，选折现率时要问同等风险下别处能赚多少。
- 现金流和折现率要用同一币种，因为不同币种的通胀不同。
- 用增长率做长期预测时，把增长后的金额算出来看一看，不要只看百分比。
- 增长永续公式里的 g 必须小于 r，而且用的是下一期现金流。长期上限见测验第 5 题。
- 拿不准时把现金流逐笔折现，用来核对公式或计算器。
复算与实操
- 10 ÷ 1.08¹⁰ = 4.63；10 × 1.08¹⁰ = 21.59。
- 1,000 亿变 350 亿大约对应 11% 的折现率：100 ÷ 1.11¹⁰ = 35.2。
- 1,000 × (1 − 1.1⁻⁵) ÷ 0.1 = 3,790.8。
- 测验第 1 题：1,000 + 1,000 ÷ 1.03³ + 1,000 ÷ 1.05¹⁰ = 2,529 千美元。无风险的两笔按 3%，私人承诺按 5%。
- 测验第 2 题：1.01⁵² − 1 = 67.77%。
- 测验第 3 题：8 年金 5 年的现值 + 12 年金 5 年的现值 ÷ 1.05⁵ = 34.64 + 40.70 = 75.34 百万美元。第二段年金的现值先落到第 5 年末，还要再折一次。
- 测验第 4 题：2 × [1 − (1.1/1.08)¹⁰] ÷ (0.08 − 0.10) = 20.14 百万美元，逐笔折现结果相同。这里 g 大于 r，公式仍然有效。
自测与复习
- 为什么 g 可以大于 r 的公式只能用于有限期？
- 测验第 5 题：永续增长率的上限是什么？答案取决于现金流的口径：名义现金流看名义经济增长率，实际现金流看实际增长率。
- 一笔 1 年后的 100 美元和 5 年后的 100 美元，分别在通胀变高时如何变化？
关联
- 上一讲：Session 5。
- 估值课里的终值和增长上限见估值 Session 11。
- 下一讲：债券估值见 Session 7。